ระบบจำนวนเต็ม
คุณสมบัติการบวกและการคูณของจำนวนเต็มบวก
     ถ้ากำหนดให้ a , b , c เป็นจำนวนใด ๆ

คุณสมบัติการสลับที่การบวก a + b = b + a ตัวอย่างเช่น 1 + 5 = 5 + 1 = 6	คุณสมบัติการสลับที่การคูณ a x b = b x a ตัวอย่างเช่น 1 x 5 = 5 x 1 = 5
คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ตัวอย่างเช่น 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 = 6	คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ a x ( b x c ) = ( a x b ) x c ตัวอย่างเช่น 1 x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 = 6

                                    คุณสมบัติการแจกแจง
                     a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
ตัวอย่าง     เช่น 2 x ( 3 + 4 ) = ( 2 x 3 ) + ( 2 x 4 ) = 14
                สิ่งที่น่าสนใจ  คือ เราเคยคิดหรือไม่ว่าในเมื่อจำนวนเต็มบวกมีคุณสมบัติการสลับที่สำหรับการบวก แล้วจำนวนเต็มบวกจะมี คุณสมบัติการสลับที่สำหรับการลบหรือไม่ เราลองมาพิจารณาดูประโยคต่อไปนี้
                 25 - 30 = - 5 แต่ถ้า 30 - 25 = 5    แสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็มบวก ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่สำหรับการลบ และ จำนวนเต็มบวกมีสมบัติการสลับที่สำหรับการหารหรือไม่ เราลองมาพิจารณาจากประโยคต่อไปนี้
                50 ÷ 5 = 10 แต่ถ้า 5 ÷ 50 = 0.1    แสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็มบวก ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ สำหรับ การหาร

                                    ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
                ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ คือ ระยะทางที่จำนวนนั้น ๆ อยู่ห่างจากศูนย์ (0)  บนเส้นจำนวนไม่ว่าจะอยู่ทางซ้าย หรือทางขวาของศูนย์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของ   จำนวนใด ๆ จะมีค่าเป็นบวกเสมอ กล่าวคือ
                 1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ 1 เท่ากับ 1
                -1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ -1 เท่ากับ 1
ถ้าเราจะพิจารณาบนเส้นจำนวนถึงนิยามของค่าสัมบูรณ์ ก็จะเป็นดังรูป

เราอาจจะใช้สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าสัมบูรณ์ คือ | | เช่น
                | -4 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -4 คือ 4
                | 6 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ 6 คือ 6

โดยสรุปเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ ถ้า กำหนดให้ a แทนจำนวนใด ๆ แล้ว 
                               
ข้อสังเกต   1. จำนวนเต็มลบซึ่งมีค่าน้อยกว่า เมื่อเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์แล้วจะมีค่ามากกว่า เช่น
                           -25 < -18     แต่ | -25 | > | -18 |
                     2. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกก็ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข เช่น | -4 | > | 2 | แต่ -4 < 2
                       
                                    การบวกจำนวนเต็ม
                1. จำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มบวก  ถ้าอาศัยเรื่องของค่าสัมบูรณ์  
วิธีการ ก็คือ นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มมาบวกกัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็นจำนวนเต็มบวก
                2. การบวกระหว่างจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ถ้าอาศัยเรื่องของค่าสัมบูรณ์
วิธีการ ก็คือ นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มมาบวกกัน ผลลัพธ์จะออกมาเป็นจำนวนเต็มลบ
                3. จำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ หรือ จำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก  ถ้าอาศัยเรื่องของค่าสัมบูรณ์
หลักการ คือ ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มทั้งสองมาลบกัน โดยใช้จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากเป็นตัวตั้ง ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
ข้อสังเกต              1 . ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน จะได้จำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกับจำนวนที่นำมาบวกกัน
                                2. ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน จะได้จำนวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกับจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

                                    การลบจำนวนเต็ม
          ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ     5 - 3 และ 5 + ( -3 ) เราจะพบว่า 5 - 3 = 2 และ 5 + ( -3 ) = 2 
นั้นคือ  5 - 3 = 5 + (-3)
          แสดงว่า การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก ถ้าเราสังเกต 3 และ-3 เราจะเห็นว่า จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน จึงสรุปได้ว่า
                                ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
หมายเหตุ    การเปลี่ยนรูปแบบในการลบจำนวนเต็มในรูปของการบวก

                                    การหารจำนวนเต็ม
                เราทราบว่า 6 ÷ 3 = 2  โดยเราสามารถตรวจสอบผลหารโดยอาศัยความรู้การคูณ
กล่าวคือ 6 ÷ 3 = 2    นั้นคือ  6 = 2 x 3 = 6       ตามหลักการที่ว่า
                                                ตัวตั้ง = ตัวหาร x ผลหาร
                ดังนั้นความรู้ในจุดนี้เราสามารถนำไปใช้ในการหารจำนวนเต็ม หรือเราอาจจะกล่าวได้อีกนัยหนึ่งว่า การหารจำนวนเต็มอาศัยความรู้พื้นฐานการคูณจำนวนเต็ม
สรุป     1. จำนวนเต็มชนิดเดียวกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มบวก
                2. จำนวนเต็มคนละชนิดกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มลบ

                                    การคูณจำนวนเต็ม
                1. การคูณระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ    การคูณระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ นั้นให้เอาเลขโดดคูณกัน แล้วตอบเป็น จำนวนเต็มลบ
ตัวอย่างเช่น    1.    4 x (-3) = (-12)      2.   (-1) x 3 = (-3)
                2. การคูณระหว่างจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ  ถ้า 6 + (-6) = 0
  แสดงว่า   (-2) x (-3)  ต้องให้ค่าออกมาเป็นบวก โดยในที่นี้ก็คือ 6   
  ดังนั้น ผลคูณระหว่างจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ได้ผลลัพธ์เป็น จำนวนเต็มบวก
ตัวอย่างเช่น    1. (-3) x (-2) = 6        2. (-5) x (-4) = 20
ข้อสังเกต              1. ผลคูณของจำนวนเต็มชนิดเดียวกันให้ค่าผลคูณเป็นจำนวนเต็มบวก
                                2. ผลคูณของจำนวนเต็มต่างชนิดกันให้ค่าผลคูณเป็นจำนวนเต็มลบ

                                    ศูนย์และจำนวนเต็มบวก
                ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" )  เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับ จากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึง แต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้นจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ  คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้คุณสมบัติของศูนย์และหนึ่ง     ถ้าเราสมมติให้ a แทนจำนวนใด ๆ จะได้ว่า

ประโยค

ตัวอย่างประโยค

0 + a = a + 0 = a	0 + 5 = 5
0 x a = a x 0 = 0	0 x 5 = 0
0 ÷ a = 0 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0	0 ÷ 5 = 0
0 ÷ 0 ได้ผลลัพธ์มากมาย	0 ÷ 0 = 5
a ÷ 0 ไม่มีความหมาย	5 ÷ 0 ไม่มีความหมาย
a x 1 = 1 x a = a	5 x 1

                                                จำนวนเต็มลบ
                จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด  คือ   -1     เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้
                1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวน ก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์
                2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1
                3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ยิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง
กล่าวคือ ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1
                4. จากข้อ 3 อาจจะกล่าวอีกนัยหนึ่งโดยดูจำนวนต่าง ๆ บนเส้นจำนวน จะได้ว่า จำนวนที่อยู่ทางซ้ายต้องมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ
 

                จากเส้นจำนวน เราจะเห็นว่า ...-4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1< 2 < 3 < 4...
นั้นคือ จำนวน  ที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ
ตัวอย่าง  จงเขียนจำนวนเต็มต่อไปนี้
                จากน้อยไปมาก  -8 , -2 , 0 , 2 , 5 , -10    เรียงจากน้อยไปมาก จะได้ -10 , -8 , -2 , 0 , 2 , 5
ตัวอย่าง  จงเขียนจำนวนต่อไปนี้
                จากมากไปน้อย 7 , 8 , 6 , -8 , -7 , -6   เรียงจากมากไปน้อย จะได้ 8 , 7 , 6 , -8 , -7 , -6
ข้อสังเกต    ในการเรียงลำดับจำนวนเต็มให้เรามองแยกจำนวนออกเป็นกลุ่ม ๆ ก่อน แล้วดูตำแหน่งจำนวนในแต่ละกลุ่มเทียบกันบนเส้นจำนวน โดยที่จำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ หรือ จำนวนที่อยู่ทางขวามือจะมีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือเสมอ

                                    จำนวนตรงข้าม


                จากเส้นจำนวนและความหมายของค่าสัมบูรณ์ ในเนื้อหาก่อนหน้านี้ จะพบว่า จำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะอยู่คนละข้างและห่างจาก 0 เท่ากัน
อย่างเช่น               | -5 | = 5 และ | 5 | = 5 เราอาจจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า
                                -5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 5 และ 5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ -5

ข้อควรทราบ   0 เป็นจำนวนตรงข้ามของตัวมันเองในการเขียนจำนวนตรงข้าม เราสามารถกระทำได้               
         กล่าวคือ    1.จำนวนตรงข้ามของ 10 เขียนแทนด้วย -10   
                            2.  จำนวนตรงข้ามของ -3   เขียนแทนด้วย  -(-3)   แต่จำนวนตรงข้ามของ -3
                                 คือ  3   ดังนั้น -(-(3) = 3 

ที่มา : http://tc.mengrai.ac.th/siriporn_mr/Number.htm     วันที่  17 สิงหาคม 2556